ریاضیات پر کاربرد

ریاضیات آینده چه خواهند بود؟ چگونه آموزش داده می‌شوند؟ همگانی کردن آن‌ها چگونه خواهد بود؟ در آستانه سر رسید تعهدهای اروپایی و در اوایل سده‌ی بیست و یکم، محفل‌های صنعتی و آزمایشگاه‌ها در جوش و خروش‌اند. نمایندگان انجمن‌های ریاضی سراسر جهان در در ریو گرد آمدند و پروفسور ژاک لویی لیون، استاد کتژدوفرانس و رئیس مرکز ملی تحقیقات فضایی، ریاست این گردهمایی را به عهده داشت. و نخستین کنگره‌ی اروپایی ریاضیات در پاریس برگزار شد. چشم انداز آینده‌ی ریاضیات سرشار از دگرگونی‌هایی است که کاربردهای این دانش را بیش از پیش اهمیت خواهند داد.

تاریخ معاصر که به نگارش درآید، بدون شک اهمیت ویژه‌ای که ریاضیات داشته است در سرلوحه خواهد بود. نیاز به ریاضیات در همه‌ی زمینه‌ها چنان چشمگیر است که نمی‌توان آن را نادیده گرفت. در صنعت اتوموبیل سازی، در ارتباط‌های از راه دور، در الکترونیک،... و در بسیاری از زمینه‌های دیگر، وجود ریاضیدان‌های خلاق همواره ضرورتی فوری است. صنعت به طور کلی تشنه ریاضیات است، و این نه به خاطر بهبود وضع بلکه بیشتر از آن جهت است که تحلیل‌های ریاضی دستگاه‌هایی بسیار کارآمدتر و بسیار اقتصادی‌تر را به دنبال خواهند داشت. مسئله‌ی همچشمی اهمیت چنین فرایندی را ایجاب می‌کند. توان کامپیوترها سالانه 35 درصد افزایش می‌یابد و دست اندر کاران کارهای اجرایی بیش از پیش منت کش ریاضی دانان می‌شوند.

کامپیوترها به همه جا راه یافته‌اند و کارها یکی پس از دیگری برای اجرا به کامپیوترها سپرده می‌شوند. اما خود این کامپیوترها چگونه اداره می‌شوند و چگونه کار می‌کنند؟ کامپیوترها آنچه انجام می‌دهند اجرای برنامه‌هایی است که در آن‌ها کار گذاشته شده یا اینکه روی آن‌ها بار می‌شوند. هر برنامه برگردان یک الگوریتم است، و هر الگوریتم دنباله‌ای منظم از عمل‌هایی است که چون به ترتیب انجام شوند از روی داده‌های مسئله‌ای جواب آن مسئله را به دست می‌دهند. در دانش کامپیوتر، یک مسئله وقتی حل شدنی است که بتوان الگوریتم حل آن را به دست آورد. در بهره گیری از کامپیوتر کسی بهترین مهارت را دارد که بتواند بهترین و مؤثرترین الگوریتم‌ها را برای حل مسئله‌ها تنظیم کند. و این کار از ریاضیدانان ساخته است.

در سال‌های پس از جنگ جهانی دوم، بین کشورهای صاحب قدرت رقابتی برای ساختن بمب هیدروژنی درگرفته بود، بمبی که بمب اتمی اورانیوم به منزله‌ی چاشنی آن بود. این بمب چاشنی بایستی در محفظه‌ای حاوی ایزوتوپ‌های هیدروژن چنان قرار بگیرد که با بوجود آمدن شرط‌های لازم عمل کند و بمب اصلی را به کار اندازد. تعیین شرط‌های لازم مسئله پیچیده‌ای بود که محاسبه‌های بسیار مفصل را ایجاب می‌کرد و انجام دادن این محاسبه‌ها با ابزارهای محاسبه‌ای آن سال‌ها شدنی نبود. از این رو ساختن این بمب فوق العاده، مدت چند سال عقب افتاده بود. شگفت آنکه چینی‌ها در این کار کامیاب شدند در صورتی که ابزارهای محاسبه‌ای بسیار ناچیز در اختیار داشتند. اما برتری آنان، و همچنین روس‌ها، در این بود که ریاضی دانان آن‌ها توانسته بودند سری‌هایی با همگرایی فوق العاده را به دست آورند. در مسابقه‌ی ساختن بمب هیدروژنی آن کشورهایی برنده شدند که از وجود ریاضی دانانی زبردست برخوردار بودند.

یکی دیگر از زمینه‌هایی که در صنعت اهمیت فوق العاده داشت و آن هم محاسبه‌های عددی بسیار پیچیده را ایجاب می‌کرد، موضوع تونل‌های باد بود. مدت‌ها بود که در پی ساختن گونه‌ای تونل بودند تا بتوانند بر حسب تنظیم سرعت جریان‌های هوا در آن، تحمل عنصرهای سازنده‌ی هواپیماها را در برابر فشار هوا مورد آزمایش قرار دهند. محاسبه‌های عددی به منزله‌ی شاهرگ یک تونل باد است. اهمیت این تونل‌ها امروزه بیشتر ناشی از آن است که به مسئله‌ی برگشت ماهواره‌ها به زمین هنگام داخل شدن آن‌ها به جو مربوط می‌شود. مسئله‌ای که از چند جهت پیچیده است؛ جسم‌هایی که از فضای کیهانی وارد جو زمین می‌شوند دارای انرژی بسیار فوق العاده‌اند و جایی که به آن وارد می‌شوند دارای تغییرهای بسیار زیاد است. در نخستین مرحله‌ی ورود به جو، اتم‌ها یا مولکول‌های سازنده‌ی اتمسفر چنان آزادانه در حرکت‌اند که می‌توان آن‌ها را مستقلاً در نظر گرفت. اما خیلی زود تراکم هوا افزایش می‌یابد و با نسبت یک به یک میلیارد بالا می‌رود. جریان‌هایی نامنظم و همراه با هرج ومرج پدید می‌آیند و موضوع را بسیار بغرنج‌تر می‌کنند. از این رو لازم می‌شود که یک ماهواره به هنگام بازگشت، نقطه به نقطه و لحظه به لحظه مورد بررسی قرار گیرد. در محاسبه‌ها، سطح ماهواره را به صورت شبکه‌ای از نقطه‌ها در نظر می‌گیرند و از این نقطه‌ها آن‌هایی را بر می‌گزینند که بیشتر تحت تأثیر شرایط ورود قرار می‌گیرند. امریکایی‌ها همین روش را برای ناوهای فضایی خود به کار می‌برده‌اند. اما از این نظر که شبکه بسیار وسیع و تعداد نقطه‌های انتخابی اندک است، نتیجه‌ی مطلوب حاصل نمی‌شود و برای امریکایی‌ها ناکامی‌هایی را به دنبال داشته است. با توجه به این نکته، اروپایی‌ها امروزه روشی ریاضی را به کار می‌برند و بر پایه‌ی آن چگونگی بازگشت هرمس را به زمین کاملاً شبیه سازی کرده‌اند. با این شیوه آن بخش‌هایی از جو را می‌توان نشانه یابی کرد که لازم است وجود شبکه‌های محلی فوق العاده فشرده در آن‌ها پیش بینی شود.

شرکت‌های نفتی نیز در کاوش‌هایی که برای پی بردن به وجود رگه‌های نفت در زیر زمین انجام می‌دهند ناچار از بررسی‌هایی هستند که عملی کردن آن‌ها به گونه‌ای بسیار گسترده به ریاضیات نیاز دارد. از دوران پس از جنگ جهانی دوم، با فرستادن موج‌های صوتی به ژرفای زمین و بازدریافت آن‌ها به وجود نفت پی می‌برند؛ در ژرفایی نه زیاد، در حدود چند صد متر، یک انفجار ایجاد می‌کنند و با چند ده میکروفون که در دور و بر آن در روی زمین نصب شده‌اند، موج‌های برگشتی از عمق زمین را دریافت می‌دارند. سرعت این موج‌های برگشتی که محاسبه شود، بریدگی‌های واقع در زیر زمین را مشخص می‌کنند. از 1970 به بعد که توانسته‌اند کامپیوتر را به کار گیرند، تعداد میکروفون‌ها را زیاد کرده‌اند و با این همه، ریاضیدانان هستند که باید حل معادله‌های مربوط به محایبه‌ی سرعت موج‌ها را بررسی کنند. در حل این معادله‌ها سر و کار با داده‌هایی غول آسا است که میلیاردها کاراکتر را در بر دارند. با پر توان‌ترین کامپیوترهای کنونی چندین ماه وقت لازم است تا بتوان محاسبه‌ها را انجام داد. این محاسبه‌ها سرعت موج‌ها را به دست می‌دهند و پس از آن عمل‌هایی تکمیلی لازم است تا بتوان تصویری از یک مقطع زیر زمینی را به دست آورد. دنباله‌ای از این تصویرها که فراهم آید و آن‌گاه جمع و جور شود، نقشه‌ای سه بعدی را در دسترس قرار می‌دهد. با پیشرفت‌هایی که در ساختار کامپیوترها روی می‌دهد و با به میدان آمدن سوپر کامپیوترها، در آینده‌ای نزدیک خواهند توانست این نقشه سه بعدی را روی پرده‌ی نمایشگر بیاورند و آن را از زاویه‌های مختلف مشاهده کنند.

نیاز دانش‌های مختلف به ریاضیات هیچ گاه پایان نخواهد یافت، بلکه هر پیشرفتی در هر یک از دانش‌ها کاربردهای تازه‌ای از ریاضیات را ایجاب می‌کند. دانش نجوم را در نظر بگیریم که از همان آغاز تولد تا امروز همواره وابسته به ریاضیات بوده است. با توانمندترین تلسکوپ‌هایی که امروزه در دسترس دارند هزاران کهکشان را در هر درجه مشاهده می‌کنند. این کهکشان‌ها در فاصله‌های مختلف قرار دارند، لذا زاویه‌های دید آن‌ها چنان به هم نزدیک‌اند که تمیز دادن آن‌ها از یکدیگر کاری غیر قابل تصور به نظر می‌رسد. تلسکوپ با تکنیک جدیدی که اروپایی‌ها در سیلا مستقر کرده‌اند و از بهار 1990 به کار افتاد، همه‌ی رکوردهای قبلی را پشت سر گذاشته است. با این تلسکوپ توانسته‌اند در ناحیه‌ای شصت درجه که پیش از این چیزی را نمی‌دیدند کهکشان‌هایی با هر اندازه و با هر شکل را مشاهده کنند.

ما وقتی در روی زمین به منظره‌ای نگاه می‌کنیم بنابر ویژگی ژنتیکی مغز خود و بنا بر تجربه‌های اکتسابی، از آنچه می‌بینیم تصویری سه بعدی در ذهن خود مجسم می‌کنیم و تشخیص می‌دهیم که چه چیز دورتر و چه چیز نزدیکتر است. اما در آسمان وضع فرق می‌کند؛ مجهز کردن هزارها منجم حرفه‌ای برای گشت و گذار در پهنه‌ی کیهان برای کسب تجربه‌هایی عینی امکان ندارد. تنها دستگاه‌های با بازدهی بسیار زیاد هستند که می‌توانند در این باره کاری انجام دهند. چنین دستگاه‌های با کارایی ویژه را ریاضیدانان طرح ریزی کرده‌اند. پایه کار بر تفسیر و تعبیر موج‌هایی است که دریافت می‌شوند و این منوط به آن است که میلیاردها داده جمع و جور و تجزیه و تحلیل شوند که باز هم ریاضیدانان گره گشا خواهند بود.

نمونه‌ی دیگر، رمز نویسی و رمز گشایی است که یکسره به ریاضیات وابسته است. امروزه نه تنها در ارتش و به هنگام جنگ‌ها بلکه در بسیاری از ارتباط‌های رادیویی و ماهواره‌ای لازم می‌شود که پیام‌ها رمزی باشند. هر پیام رمزی معمولاً یک کلید بازگشایی دارد که با پی بردن به آن می‌توان متن پیام را دریافت. کشف کلید رمز به کمک ریاضیات میسر است. در این باره محاسبه‌های تا اندازه‌ای پیچیده باید انجام گیرد که با بهره گیری از کامپیوترهای توانمند کار دشواری نخواهد بود. از این رو می‌کوشند تا کلید رمز را به گونه‌ای برگزینند که کشف آن به محاسبه‌هایی بسیار پیچیده‌تری نیاز داشته باشد و این کار ه به کمک ریاضیات میسر است. دست اندر کاران پیام‌های رمزی در دو جهت دست به دامان ریاضیدانان‌اند، هم برای گزیدن کلید رمز و هم برای رمز گشایی. در رمز نویسی و رمز گشایی مسئله‌ی عددهای اول پیش می‌آید. در رمز نویسی، عددهای اول نه به تنهایی بلکه به صورت عامل‌هایی از یک عدد غیر اول به کار می‌روند. اگر قرار باشد عددهای 13 یا 17 به کار روند عدد 221 برگزیده می‌شود و همچنین در مورد عددهای 13، 17 و 19، حاصلضرب آن‌ها، 4199، به کار می‌رود. در رمز گشایی تجزیه‌ی این عددهای غیر اول لازم می‌شود. عددها که کوچک باشند تجزیه‌ی آن‌ها کار ساده‌ای است. اما تجزیه‌ی یک عدد بزرگ، مانند 5223834823 بسادگی انجام نمی‌پذیرد؛ مدتی وقت باید صرف شود تا عامل‌های اول این عدد، 719، 887 و 8191، به دست آیند.

هرچه عدد غیر اول بزرگتر انتخاب شود، تجزیه‌ی آن دشوارتر خواهد بود. تا چندی پیش و با ابزارهای موجود تجزیه‌ی یک عدد پنجاه رقمی ناشدنی به نظر می‌رسید.

امروزه می‌توانند رمز گشایی را خیلی سریع‌تر انجام دهند. ریاضیدانان برای تجزیه‌ی عددهای بزرگ به روش‌هایی جدید و جالب دست یافته‌اند. در پایان قرن گذشته سه ریاضیدان به نام‌های بریار، لمر، و سلفریج با همکاری یکدیگر توانستند تجزیه‌ی یک عدد پنجاه رقمی را در مدت ده ساعت عملی سازند. ده سال پس از آن، آلدمن، با روش تازه‌ای که به کار برد، تجزیه‌ی همان عدد را در مدت تنها سه ثانیه ممکن ساخت. سپس کوهن و لنسترا، این روش را ساده‌تر کردند و بر پایه‌ی آن، ریاضیدانان وابسته به شرکت بل توانستند تجزیه‌ی یک عدد 155 رقمی را ممکن سازند. این عدد به سه عامل اول، یکی 99 رقمی، دیگری 49 رقمی و سومی 7 رقمی، تجزیه شد. به دنبال این پیروزی درخشان ناچار از آن خواهند بود که شیوه‌های جدیدتری را به کار ببرند.

برای آنکه یک کلید رمز شناخته نشود، اگر امروز عددی 100 رقمی را می‌توان برگزید فردا ناچار خواهند بود عددی 200 رقمی را برگزینند. رمز گزینان و رمزگشایان در جریان مسابقه‌ای قرار دارند و هر کام برای پیشی گرفتن بر دیگری به ریاضی دانان روی می‌آورند. این مراجعه موجب می‌شود که مسابقه دنبال داشته باشد.

آمار یکی از زمینه‌هایی است که در آن بیش از هر مورد دیگری به ریاضیدانان مراجعه می‌شود: برای عمق یابی، برای نمونه گزینی، برای پی بردن به پیامدهای یک رفتار، و حتی برای شکل دادن یک فعالیت جنگی، انتخاباتی یا تبلیغاتی. وقتی برای یک فعالیت تبلیغاتی تصمیم گیری شده و قرار است در موردی یک پیام از رسانه‌های گروهی به مردم ابلاغ شود، به ریاضیدان روی می‌آورند و از او می‌خواهند تا با توجه به نرخ‌های متفاوت پخش آگهی‌ها در ساعت‌های مختلف روزهای هفته و با توجه به تعداد تماشاگران در هر مورد، معلوم کند آیا آن پیام یک بار در عصر روز تعطیل پخش شود یا این که چندین بار در فاصله‌های زمانی و در روزهای هفته. ریاضیدان برای تصمیم گیری نخست به فراهم آوردن داده‌های مورد نیاز اقدام می‌کند. از یک جهت معلوم می‌کند که چند درصد از مردم با وسیله‌ای که قرار است شناسانده شود آشنایی قبلی دارند، چند درصد از مردم آن وسیله یا نمونه‌های دیگری همانند آن را به کار می‌برند و چند درصد از مردم به آن وسیله نیاز خواهند داشت یا اینکه به تهیه‌ی آن علاقه مند خواهند شد. در جهت دیگر به این نکته توجه می‌شود که اثر یک پیام، به تعداد دفعه‌هایی که ابلاغ می‌شود و به عادت‌های دریافت کنندگان آن بستگی دارد. تعداد دفعه‌ها نباید آن اندازه کم باشد که پیام به فراموشی سپرده شود و نباید آن اندازه زیاد باشد که دریافت کننده در رو به رویی با آن جبهه بگیرد.

ریاضی دان همچنین معلوم می‌کند که چه موقع و چند درصد از مردم پیام را در جا درک می‌کنند و چند درصد از مردم باید آن پیام را چندین بار دریافت دارند، و سر انجام بر پایه‌ی داده‌های فراهم آمده منحنی توزیع را رسم می‌کند. به یمن وجود ریاضیات کاربسته، چیزی از قلم نمی‌افتد و فعالیت تبلیغاتی با مراقبت‌های همه جانبه جریان می‌یابد.

زیست شناسی نیز بیش از پیش از ریاضیات چاره جویی می‌طلبد. پژوهش‌های در این زمینه را مدت‌ها مسئله‌های عینی تشکیل می‌داد. در سده‌ی اخیر ورهولست، درباره‌ی آهنگ رشد یک جمعیت فرمولی ارائه داد که یک قانون قیاسی است. ریاضیدانی به نام ویتو ولترا، که نامش همواره ماندنی است، تعادل بین انواع را به صورت معادله در آورد و ثابت کرد که بر خلاف انتظار، شکارها می‌توانند قربانیانی برای از بین رفتن شکارچیان باشند.

این سر آغاز کار بوده است. هر زمان یقین پیدا کرده‌اند که لازم است وسیله‌ی مفید جدیدی را پدید آورند. از جمله به معادله در آوردن ساختار DNA بوده است که تنها کاربرد مولکول هیدروژن در معادله‌ی شرودینگر و محاسبه‌هایی بسیار پیچیده را در پی داشته است. با وجود همه‌ی دشواری‌ها برای دستیابی به دستگاه‌هایی کار آمد یا به نظریه کاتگوری‌ها در جهت تشریح ویژگی‌های یک پروتئین بر حسب برش‌های آن، کوشش‌ها ادامه دارند. هنوز به هیچ راه خلاصی هموار دست نیافته‌اند، اما زیادند متخصصانی که پرشی قریب الوقوع را در ریاضیات زیست شناسی انتظار می‌کشند.